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数学的后现代性转向
2019年03月12日 09:30 来源:中国社会科学网-中国社会科学报 作者:李雪 字号

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  数学,作为人类认知的产物有着不以人的意志为转移的规律,从某种程度而言,并不像后现代主义批判的那样固守着绝对主义、基础主义、理性主义的藩篱,相反,在数学自身的发展中就已蕴含着后现代性启蒙的思想因素。

  真理唯一论的瓦解

  第一次数学危机后,古希腊人开始意识到几何的重要性和公理系统对逻辑推导的有效性。欧几里得《几何原本》的贡献在于,它总结了以往几何学的知识,并将亚里士多德的公理化思想注入其中,使其构成一个标准化的演绎体系。这种演绎体系对后世数学及科学的发展影响巨大,以至于其被奉为圭臬长达千年之久。然而,欧氏几何并非完美,比如,其点、线、面从直观角度定义,特别是平行公设,数千年来数学家们一直试图证明其合理性,但无一例外都失败了。直到19世纪才有数学家大胆否定欧氏几何第五公设,在此基础上建立了非欧几何。

  非欧几何的建立,引发了人们对几何学体系拥有唯一、先验、固定基础想法的反思。后来建立的其他几何学体系,如黎曼空间几何、罗巴切夫斯基几何,更使人们明白,作为描述物质空间的欧式几何只是众多几何学体系中的一种,只要公理体系完备、自洽、无矛盾,数学家可以从多个角度建立几何学的公理体系。不仅如此,非欧几何的建立还使得数学脱离了与现实的必然联系。美国数学史家克莱因(Morris Kline)曾指出,“数学的这一阶段,使数学摆脱了与现实的紧密联系,并使数学本身从科学中分离出来,就如同科学从哲学中分离出来,哲学从宗教中分离出来,宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样”。非欧几何的建立使数学冲出了真理唯一论、基础主义不变论的枷锁,人们以一种新的视角反思从数学自身发展折射出的真理观。从某种程度而言,非欧几何标志着数学现代性的衰落和后现代性的萌芽。

  逻辑形式化的破产

  无穷小悖论造成的第二次数学危机,最终通过构建在实数理论上的极限存在的定义得以解决。随着人们对实数理论的深入研究,康托尔等人创立了朴素集合论。但这也是第三次数学危机的直接来源,围绕这次危机而展开的关于数学基础问题大论战的三大哲学流派——逻辑主义、形式主义、直觉主义的运动,均以失败告终。这表明,为数学寻找一个唯一、可靠的根基是不可行的。当时,数学的基础理论是自然数的算术和实数理论,由于集合论悖论的解决,它们已全部公理化。如果这些公理系统和集合论公理系统能够被证明是无矛盾、完备的,那么便能够为数学建立一个牢靠的基础。但是,哥德尔不完备性定理证明了包含算术系统在内的任意形式系统,存在命题和它的否命题在此公理系统中不可证,这意味着公理系统存在不完备性。因此,逻辑主义和形式主义想将数学变成一个封闭、完备、符合逻辑演绎规则的形式化系统的想法破产了。

  哥德尔不完备性定理为数学中的逻辑主义、形式主义的运用划分了一个范围。加拿大数学哲学家塔西奇(Vladimir Tasic)指出,“理性中心论数学的不可靠性不仅在于它傲慢地轻视个体的人及其实际上所做的,还在于它用抽象的逻辑步骤代替了在人的心灵中持续进行的创造性过程”。在数学的创造发展中,既存在逻辑的成分,也存在非逻辑的成分。以往人们重视数学中美丽的公式化表达、严谨的推导步骤、和谐的公理化体系,并将其作为数学的全部图景,但维特根斯坦认为,“上述图景让我们忘记了在数学美丽的五彩图的构造中所需的其他特殊的、不可缺少的技术……从亚里士多德到弗雷格、罗素的逻辑主义传统没能把握住数学的混和物特征,而这种混和物是根植于数学真实的历史时空中的”。哥德尔不完备性定理以一种间接的方式瓦解了将数学全部形式化的打算,使人们承认,数学中存在逻辑无法到达的地方。数学活动拥有个体性、异质性和不可通约性的特点,其中已包含了后现代性思想的特征。

  “心灵构造”与“语言游戏”

  以荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Egbertus Jan Brouwer)为代表的直觉主义,虽然对第三次数学危机的解决方案仍停留在现代性视野内,但其中的哲学思想却超越了现代性的体系范畴。对于逻辑主义想将整个数学从逻辑中演绎推导出来的想法,直觉主义持坚决反对态度。布劳威尔认为,“逻辑是从数学派生出来的,它显然依赖于一种本质上的数学直观,这种直观建立在康德的‘内感形式’的时间概念的基础上”。直觉主义要为数学寻找心灵创造的基础,而非逻辑推导的来源。既然数学“起源于对时间流动的感觉的心灵活动”,那么数学的本质便是超语言的,甚至是无语言的,这与传统数学中将数学的意义建立在“文本”或“纸面”上的想法完全不同。在一定程度上,这从本体论语言学的层面上动摇了关于数学的绝对主义立场。由于直觉主义这种超逻辑、超语言的数学观,使得数学知识在他们看来是根植于内省直觉的精神建构活动的成果,而这种建构不是感性、任意的,而是基于理性的构造。这种数学观超越了柏拉图理念世界的数学观和实在论的数学观,具有强烈的个人建构主义色彩。

  维特根斯坦受到布劳威尔直觉主义的影响,在这条道路上走得更远,发展了关于数学的“语言游戏”理论。关于语言,维特根斯坦认为,“反映在语言中的东西,语言不能加以描画。表现在语言中的东西,我们通过语言不能加以表达”。并且,维特根斯坦认为,语言总是同生活实践相联系,语词的意义只存在于具体的实际使用中,“真理”“客观性”等概念只能在具体的社会实践中去体察把握。与直觉主义的个人建构主义思想相比,维特根斯坦的数学哲学观念更趋向于社会建构主义,但它们都体现了后现代性的特征。

  以形而上学和柏拉图主义为基调的绝对主义、基础主义、逻各斯中心主义的现代性真理观被人赋予在数学中时,在一定程度上巩固了数学的合理性、确定性地位,但对数学的发展却形成了一定的桎梏。随着人们逐渐挣脱思想上的枷锁,数学中的后现代性转向也逐渐凸显出来。但我们也应警惕后现代思潮对数学发展的反噬作用,在不能忽视个人的创造性、社会实践的构建作用的同时,也不能承认数学真理的标准是任意、相对的,不能赞成数学没有基础或数学基础的构建绝对主观。现代性与后现代性都有其合理与不合理的一面,一方面,人们要实事求是,客观看待数学发展的规律;另一方面,人们要解放思想,合理否定现有数学体系中的错误之处,但在推理验证时应小心谨慎,避免落入相对主义的牢笼。

 

  (本文系国家社科基金重大项目“问题哲学理论前沿与理论创新研究”(18ZDA026)阶段性成果)

  (作者单位:华侨大学哲学与社会发展学院、华侨大学问题哲学研究中心)

作者简介

姓名:李雪 工作单位:华侨大学哲学与社会发展学院、华侨大学问题哲学研究中心

课题:

本文系国家社科基金重大项目“问题哲学理论前沿与理论创新研究”(18ZDA026)阶段性成果

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